Geometria fractal: propriedades e características de fractais ideais

Abstract

Descobertas recentes revelam que modelos matemáticos euclidianos, de há muito estabelecidos e que procuram reproduzir a geometria da natureza,às vezes se apresentam incompletos e, em determinadas situações, inadequados. Especificamente, muitas das formas encontradas na natureza não são círculos, triângulos, esferas, icosaedros ou retângulos. Enfim, não são simples curvas, superfícies ou sólidos, conforme definidos na geometria clássica de Euclides (300 a.C), cujos teoremas possuem lugar de destaque nos textos de geometria. Neste trabalho apresenta-se uma breve e elementar, mas que busca ser consistente, discussão sobre algumas definições e aplicações relacionadasà geometria fractal, em particular fractais ideais. Caracterizaremos alguns fractais auto-similares que, por sua importância histórica ou riqueza de características, constituem exemplos ilustrativos "clássicos" de propriedades de fractais, propriedades estas que muitas vezes aparecem dispersas numa literatura mais especializada. Mostra-se, por construção, que suas medidas de comprimento,área e volume, nas dimensões euclidianas usuais, dão margem a resultados contraditórios. Estes podem ser explicados pelo fato de que tais objetos só podem ser adequadamente mensurados em espaços de dimensão fracionária. Palavras-chave: fractais, auto-similaridade, dimensão fractal.Recent discoveries reveal that mathematical models, established a long time ago and searching to reproduce the nature's geometry, sometimes result being incomplete and even inadequate in some situations. Specifically, many of the forms found in the nature are not circles, triangles, spheres, icosahedrons or rectangles. Finally, they are not simple curves, surfaces or solids, as defined in the classical geometry of Euclides (300 b.C), whose theorems possesses a prominent place in the geometry texts. In this work a brief and elementary, although intended to be consistent, discussion about some definitions and applications related to the fractal geometry is presented. It is also presented properties of some fractals that, for its historical importance or wealth of characteristics, constitute "classical" illustrative examples of the fractals properties which, despite this, many times appear dispersed in the specialized literature. It is shown, by construction, that the measures of length, area and volume for these objects, within the usual Euclidean dimensions, lead to contradictory results. This can be explained by considering that these objects can be adequately measured using spaces of fractional dimensions.

Avaliação luminosa de elementos de fachada com características fractais

“…Sobre o atributo da irregularidade, essa característica tem como sentido de rugosidade ou não suavização, referindo-se às partes que têm sua forma extremamente irregular, interrompidas ou fragmentadas, em qualquer escala observada. (ASSIS et al 2008, MANDELBROT 1977.…”

“…A dimensão dos fractais também é utilizada em outros campos multidisciplinares, como nos diagnósticos de câncer, no desenvolvimento de antenas, na mineralogia, biologia, meteorologia, economia, ecologia, eletrônica, química, entre outras disciplinas. (ASSIS et al, 2008;SAMPER;HERRERA, 2016;TRACADA 2016). Spehar et al, (2003) comentam que, a visualização da dimensão "D" pode ser observada em diferentes fractais, como os presentes na natureza (árvores, montanhas, ondas, etc.…”

“…Contudo, estas geometrias tradicionais podem se mostrar inadequadas ou incompletas para recriar tais padrões, pois muitas das formas encontradas na natureza não pertencem ao grupo das geometrias euclidianas. (ASSIS et al 2008;CHING, 1998).…”

Measurement of the Nanoscale Roughness by Atomic Force Microscopy: Basic Principles and Applications

“…An example of self-similar fractal is the Sierpinski Triangle (Figure 22) that does not change its shape under a scale transformation (Assis et al, 2008). Fig.…”

“…The Triangle ADE is an exact copy in miniature of triangle ABC, depicting a self-similar fractal object. Triangles CDF and BEF are similarly related to triangle ABC (Assis et al, 2008).…”