Análise da convergência na Teoria da Perturbação Estacionária

Abstract

Neste trabalho, apresentamos uma revisão da teoria de perturbação na Mecânica Quântica e mostramos que a série perturbativa de Rayleigh-Schrödinger não converge para o resultado exato obtido por integração numérica para o caso do oscilador anarmônico do tipo x 4 e do efeito Stark noátomo de hidrogênio. Abordamos um método de renormalização da energia perturbativa, denominado aproximante de Padé, para contornar o problema da convergência das séries de potências. Como ilustração, tratamos o caso da teoria de perturbação de quarta ordem no oscilador anarmônico λx 4 e verificamos a eficácia do aproximante de Padé em comparaçãoà solução numérica. Palavras-chave: teoria de perturbação estacionária, aproximantes de Padé.In this work, we take a revision of perturbation theory in Quantum Mechanics and we were shown that RayleighSchrodinger perturbative series did not converge to exact numerical results of anharmonic oscillator or Stark effect in Hydrogen atom. We utilize Pade approximants, as a technique of renormalization of perturbative energies. We treat fourth order perturbation to anharmonic oscillator λx 4 and verify the accuracy of Pade approximants in relation to numerical exact solution. Keywords: stationary perturbation theory, Pade approximants. IntroduçãoNo final do século XIX, a Mecânica de Newton e a Teoria de Maxwell do campo eletromagnético constituiam os pilares da Física Clássica. A partir dessaépoca, a descoberta de uma série de novos fenômenos, incompreensíveisà luz destas teorias clássicas levouà introdução de um conjunto de hipóteses novas, que, anos mais tarde, cristalizaram-se no que hoje conhecemos como Mecânica Quântica. Ao lado da Teoria da Relatividade, estas criações da mente humana são os novos pilares da Física Moderna, explicando de forma satisfatória grande parte dos fenômenos microscópicos. O conceito de corpo negro foi introduzido por Kirchhoff [1] em 1860. Somente com o advento da quantização da energia proposta por Max Planck [2] no início do século passado, a fim de estabelecer a fundamentação teórica para a compreensão do equilíbrio entre radiação e matéria,é que foram explicados por completo uma série de novos resultados experimentais observados naépoca [3]. Recentemente, o artigo de Planck foi traduzido a partir do original alemão e comentado didaticamente em seus aspectos essenciais por Studart [4] (há também, na Ref.[3], uma descrição histórica desse assunto). A idéia principal do novo mundo quânticó e que uma partícula material apresenta um comportamento dual, ora como onda, ora como partícula, sendo o mesmo influenciado pelo modo comoé observada. A natureza desta dualidade está intrinsicamente associada ao princípio da incerteza de Heisenberg [5], que relaciona a incerteza na precisão de medidas de grandezas complementares ao quantum de ação (constante de Planck) [44].Poucos sistemas de interesse físico em Mecânica Quântica podem ser tratados analiticamente de modo exato. A limitação devese a grande dificuldade operacional de resolvermos equações diferenciais envolvendo as fun...

Estudo teórico de transição quântica de fases em gases bosônicos aprisionados por redes ópticas periódica e quase periódica

“…Iniciamos agora a segunda fase da resolução do hamiltoniano. Em decorrência da Teoria da Pertubação de Raylegh-Schrödinger [30], podemos decompor o hamiltoniano em dois operadores menores:…”