Função energia generalizada de controle para estabilização de sistemas não lineares

Abstract

Neste trabalho, o conceito de função de Lyapunov de controle é estendido em duas direções principais. Na primeira direção, o conceito de função energia de controle (FEC) é proposto com o objetivo de não somente projetar leis de controle estabilizantes para sistemas não lineares mas também com o objetivo de fornecer uma estimativa da região de estabilidade do sistema em malha fechada. A FLC garante estabilidade local de um certo ponto de equilíbrio do sistema em malha fechada, mas usualmente não fornece estimativasótimas da região de estabilidade. O conceito de FEC é mais exigente que o conceito de FLC. Além de garantir estabilidade local do equilíbrio, a FEC fornece informações globais a respeito dos conjuntos limites e estimativas ótimas das regiões de estabilidade. A segunda direção está relacionada com o fato de que, em geral, é difícil encontrar FLC ou FEC para muitos sistemas não lineares. De forma a minimizar este problema e aplicar õ conceito de CEF em uma classe maior de sistemas, propõe-se neste artigo o conceito de função energia generalizada de controle (FEGC). A FEGC permite o projeto de controladores mesmo quando a derivada da função energia é positiva em algumas regiões limitadas do espaço de estados.<br>extended in two main directions. In the first direction, the concept of control energy function (CEF) is proposed not only to design stabilizing feedback control laws but also to provide an estimate of the stability region of the closed-loopsystem. The CLF guarantees local stability of the closedloop- system but usually cannot provide optimal estimates of its stability region. The CEF concept is more restrict than the CLF concept. Beyond the guarantee of local stability, the CEF provides global information about limit sets and optimal estimates of stability region. The second direction is related to the fact that, in general, it is difficult to find a CLF or a CEF for many nonlinear systems. In order to overcome this problem and apply the concept of CEF for a larger class of systems, the concept of generalized control energy function (GCEF) is proposed in this paper. The GCEF allows the design of nonlinear controllers even when the derivative of the energy function is positive in some bounded regions of the state space

Fronteira e Região de Estabilidade Fraca de um Ponto de Equilíbrio Hopf Supercrítico do tipo zero

“…O problema de determinar a região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para um sistema dinâmico autônomo não linearé relevante em diversas aplicações no campo da engenharia, incluindo problemas de estabilidade em sistemas elétricos de potência [3,5,12,15], técnicas de otimização global via sistemas dinâmicos [9] e em outrasáreas tais como ecologia [10] e economia [2]. Entretanto, determinar ou estimar a região de estabilidade de um sistema dinâmicoé um problema difícil e métodos sistemáticos para este fim só existem para classes específicas de sistemas.…”

Supercritical Hopf equilibrium points on the boundary of the stability region

“…The problem of determining stability regions (area of attraction or basin of attraction) is relevant in several applications in engineering, including stability problems in power systems [3], [18], [22], tools for global optimization via dynamic systems [14] and in other areas such as ecology [15] and economics [1]. Determining stability regions is also relevant in control theory.…”

Caracterização, estimativas e bifurcações da região de estabilidade de sistemas dinâmicos não lineares

“…Na maioria dos casos, existe um subconjunto de condições iniciais, chamado de região de estabilidade, cujas trajetórias, iniciando dentro deste conjunto, tendem para o ponto de equilíbrio assintoticamente estável quando o tempo tende ao infinito. O problema de determinar a região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para um sistema dinâmico autônomo não linear é relevante em diversas aplicações no campo da engenharia, incluindo problemas de estabilidade em sistemas elétricos de potência, (EL-ABIAD; NAGAPPAN, 1966), (YU;VONGSURIYA, 1967), (SARKAR; RAO, 1971), (N. KAKIMOTO;HAYASHI, 1978), CHEN, 1985), VARAIYA, 1987), (PAI, 1981), (CHI-ANG;VARAIYA, 1992), PAGANO;, SOUZA;TROFINO, 2009), (DEMARCO;CANIZARES, 1992), (SILVA et al, 2009), (SILVA et al, 2005, (GUEDES; ALBERTO; , análise dinâmica em reatores químicos (E. NOLDUS J. SPRIET; CAUWEN-BERGHE, 1974), técnicas de otimização global via sistemas dinâmicos (LEE; CHIANG, 2000) e em outras áreas tais como ecologia (MAY, 1973;GATTO;RINALDI, 1975) e economia (ARROW; HAHN, 1971). Os inúmeros métodos, propostos na literatura, para estimar a região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável podem ser grosseiramente divididos em duas classes (GENESIO; TARTAGLIA; VICINO, 1985): aqueles que usam função escalares tais como funções de Lyapunov ou funções energia, e aqueles que não usam funções escalares, ver Figura 1.1.…”

“…Sendo assim, a função energia deverá satisfazer as condições da Definição 9.1.1 para todo o espaço R n . Na Definição 9.1.1 dada por Chiang et al (1987), mas especificamente no item (ii), o conjunto {t ∈ R + :V (ϕ(t, x 0 )) = 0} tem que possuir medida nula em R, se x 0 / ∈ E. Um outro conceito de função energia tem sido proposto na literatura (SILVA et al, 2009) e exige ao invés da condição (ii) da Definição 9.1.1, que o conjunto {t ∈ R + :V (ϕ(t, x 0 )) < 0} não possua medida finita em R, se x 0 / ∈ E. Esta nova condição proposta no trabalho de Silva et al (2009) é mais geral e contém o item (ii) da Definição 9.1.1 como um caso particular, ou seja, a exigência de que o conjunto {t ∈ R + :V (ϕ(t, x 0 )) = 0} possua medida nula em R, se x 0 / ∈ E, é uma condição suficiente para que o conjunto {t ∈ R + :…”

“…(SILVA et al, 2009) No Capítulo 5, oferecemos uma caracterização para a fronteira da região de estabilidade na presença de um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo zero. Porém uma das hipóte-ses utilizadas nesta caracterização foi a suposição (A3) que não é satisfeita de maneira genérica na classe de sistemas dinâmicos da forma (2.1).…”