Sobre a conexão entre alguns modelos físicos não-lineares

Abstract

Neste trabalho revisamos alguns dos sistemas não-lineares mais paradigmáticos e desvendamos algumas das suas surpreendentes interligações. Os problemas de interesse, descrito matematicamente pelas equações de sine-Gordon, Toda e KdV, generalizam modelos físicos conhecidos, como o pêndulo simples, o sistema massa-mola e as ondas lineares emágua, respectivamente. Depois de discutirmos as peculiaridades decorrentes da presença de não-linearidades nos modelos, esclarecemos como os sistemas apresentados são relacionados uns aos outros, indicando a existência de uma família de equações que compartilham propriedades como a integrabilidade. Nós mostramos como a equação de KdV pode ser convenientemente discretizada a fim de preservar tais características importantes. Além de apresentarmos as ligações estreitas que esta equação tem com a cadeia de Toda e com a equação sine-Gordon, nós também investigamos outros procedimentos capazes de gerar um sistema integrável discreto a partir do modelo KdV com a discretização de Hirota. Palavras-chave: KdV, Sine-Gordon, Cadeia de Toda.In this report we review some of the most paradigmatic nonlinear systems and unveil some of their suprising interconnections. The problems of interest, described mathematically by the equations of sine-Gordon, Toda and KdV, generalize well known physical models, the simple pendulum, the mass on a spring and the linear waves, respectively. After discussing the differences arising from the presence of nonlinearities in the models, we clarify how the systems presented are related to each other, indicating existence of a family of equations sharing integrability properties. We show how the KdV equation can be conveniently discretized in order to preserve important properties. Besides presenting the close connections this equation has with respect to the Toda lattice and the sine-Gordon equation, we also investigate other procedures capable of generating a discrete integrable system from the KdV model, as the Hirota discretization. Keywords: KdV, Sine-Gordon, Toda Lattice. IntroduçãoA maior parte dos fenômenos que ocorrem na natureza envolvem efeitos não-lineares. No entanto, os cursos de graduação tendem a focar nos aspectos lineares destes fenômenos. Dessa forma, em nossa formação, somos levados a pensar que os sistemas não-lineares são tão complicados que nunca podem ser tratados de forma analítica. Assim, pode parecer que o profissional daárea deve resignar-se, apenas, a simulações numéricas, como ocorre com a previsão do tempo, por exemplo. * Endereço de correspondência: paulo.assis@ufg.br.Diante de tal cenário, neste trabalho trazemos uma introdução a alguns problemas não-lineares que podem ser tratados exatamente, com obtenção de soluções analíticas, e que, embora possam parecerà primeira vista completamente independentes, estão relacionados entre si de uma maneira profunda por meio de simetrias. Sabe-se que a presença de simetrias num problema está associadaà existência de leis de conservação [1,2], que podem permitir ou facilitar a solução do proble...

Uma investigação sobre acoplamento de pêndulos não-lineares utilizando as técnicas de videoanálise

“…Oscilações em sistemas mecânicos e vibrações de moléculas, por exemplo, podem ser explorados com relações matemáticas semelhantes àquelas utilizadas para descrever sistemas de pêndulos (SILVA, 2018;MONTEIRO, 2011). Não é por acaso que os cursos de física básica ou avançada apresentam numerosos exemplos utilizando pêndulos lineares e não lineares (SILVA, 2018;ANDRADE;ANJOS;ASSIS, 2017;HALLIDAY;RESNICK;WALKER, 2008;MONTEIRO, 2011;LEMOS, 2004;NUSSENZVEIG, 2002). Trabalhos utilizando estes pêndulos podem ser encontrados na literatura especializada, desde experimentos didáticos até investigações teóricas mais complexas (LOPES;SUAVE;NOGUEIRA, 2018;PICCIARELLI;STELLA, 2010;BELÉNDEZ et al, 2007;GAULD, 2004).…”