A pseudo-random sequences constructed as a digit sequence of a skew linear recurrence of maximal period over Galois ring are studied. We find the periods of such sequences and lower bounds for their ranks as a sequences over field. A rank of the first digit sequence of a skew linear recurrence of maximal period is determined exactly under certain conditions on the digit set.
Разрядные последовательности скрученных линейных рекуррент максимального периода над кольцами Галуа
М. А. Гольтваница
ООО «Центр сертификационных исследований», г. МоскваАннотация. Изучаются свойства псевдослучайной последовательности, полученной из разрядной последовательности скрученной линейной рекурренты максимального периода над кольцом Галуа. Для такой последовательности найдены период и нижние оценки ее ранга как последовательности над полем. Для ранга первой разрядной последовательности скрученной линейной рекурренты максимального периода получено точное значение при определенных ограничениях на разрядное множество.Ключевые слова: скрученная линейная рекуррента, кольцо Галуа, разрядная последовательность Citation
Пусть $p$ - простое число, $R=\mathrm{GR}(q^d,p^d)$ - кольцо Галуа мощности $q^d$ и характеристики $p^d$, где $q = p^r$, $S=\mathrm{GR}(q^{nd},p^d)$ - расширение степени $n$ кольца $R$ и $\check{S}$ - кольцо эндоморфизмов модуля $_RS$. Последовательность $v$ над $S$, удовлетворяющую закону рекурсии $$ \forall i\in\mathbb{N}_0 :\;\;\;v(i+m)= psi_{m-1}(v(i+m-1))+...+\psi_0(v(i)),\;\;\;\psi_0,...,\psi_{m-1}\in\check{S},$$ будем называть скрученной линейной рекуррентной последовательностью над $S$ с характеристическим многочленом $\Psi(x) = x^m - \sum_{j=0}^{m-1}\psi_jx^j$. Максимально возможный период последовательности такого вида равен $\tau=(q^{mn}-1)p^{d-1}$. В работе предлагаются новые методы построения многочленов $\Psi(x)$, задающих законы рекурсии для скрученных линейных рекуррентных последовательностей максимального периода. Данные методы основаны на поиске в кольце $\check{S}[x]$ делителей классических многочленов Галуа над $R$ периода $\tau$.
Let p be a prime number, R = GR(q d , p d ), where q = p r , be a Galois ring, S = GR(q nd , p d ) be its extension. We prove a non-commutative generalization of the well-known Hamilton -Cayley theorem. Using this result we prove the existence of roots in some extension K ofŠ for characteristic polynomials of skew maximal period linear recurrent sequences over S. Also for these polynomials we investigate the structure of the set of their roots.
Некоммутативная теорема Гамильтона -Кэли и корни характеристических многочленов скрученных линейных рекуррент над кольцами Галуа
М. А. Гольтваница
ООО «Центр сертификационных исследований», МоскваАннотация. Пусть p -простое число, q = p r , R = GR(q d , p d ) -кольцо Галуа, S = GR(q nd , p d ) -его расширение. Рассматриваются скрученные линейные рекуррентные последoвательности максимального периода (ЛРП МП) над S. В работе доказано некоммутативное обобщение хорошо известной теоремы Гамильтона -Кэли. С использованием этого результата устанавливается существование корней характеристических многочленов скрученных ЛРП МП в некотором расширении K кольцаŠ. Изучается структура множества корней этих многочленов.Ключевые слова: некоммутативная теорема Гамильтона -Кэли, скрученные ЛРП, максимальный период, кольцо Галуа