Universidade Federal do Paraná Resumo O estudo trata da aprendizagem das estruturas aditivas em sua passagem às multiplicativas conforme o modelo da equilibração e as proposições de Vergnaud sobre campos conceituais. Descreve a natureza e as transformações de notações infantis em tarefas de igualização e de repartição de grandezas, e verifica a significação das notações produzidas no exame das relações psicogenéticas entre aquelas estruturas. Os 12 participantes (6,4 a 9,5 anos de idade), alunos de duas escolas públicas de periferia urbana de duas regiões metropolitanas diferentes, executaram, em tríades, tarefas com momentos alternados de execução prática e de notação interpretada do executado. A análise qualitativa microgenética dos dados videografados resultou em tipos de notação e em tendências de transformação conceitual reveladas pelas notações. A discussão sublinha a natureza e as alterações das notações descritas, e o lugar relevante, nas relações psicogenéticas entre as estruturas consideradas, de esquemas inerentes a ambas, igualização e repartição.

O artigo apresenta um estudo de caso sobre as relações da interação social de crianças com suas construções cognitivas individuais de aprendizagem da adição/subtração, segundo proposições da epistemologia genética. Os resultados vêm da análise qualitativa microgenética da seqüência completa, gravada em vídeo, dos eventos referentes às inter-relações: a) das estratégias cognitivas expressas por três meninos que, juntos, resolveram tarefas relativas ao conteúdo aritmético citado; b) daquelas estratégias com as intervenções do adulto. Os sujeitos (idades de 7,4; 8,6; e 9,1) eram alunos de primeira série de uma escola pública. Os resultados apoiam parcialmente hipóteses sobre um modelo cíclico complexo de inter-relações das realizações dos parceiros e destas com as intervenções do adulto. O modelo piagetiano da equilibração explica a complexidade das interações sociais discutidas, em suas relações necessárias mas não suficientes com as construções cognitivas individuais.
The paper presents a case study about the relationship between children’s social interactions and children’s cognitive constructions of addition/subtraction according to propositions of the genetic epistemology. Results come from a microgenetic qualitative analysis of the complete sequence of videotaped events concerning the interrelationship among: a) cognitive strategies expressed by three boys when solving together learning tasks about addition/subtraction; b) those strategies with adult’s interventions. Subjects were three boys (aged 7,4; 8,6; and 9,1) who attended the first grade of a public Elementary School. Results partially support the proposed hypotheses of a complex cyclical model of interrelationship among partners’ productions and with adult’s interventions. Piaget’s equilibration model explains the complexity of the discussed social interactions, in their necessary, but not sufficient relationship, with the individual cognitive constructions

RESUMO -Conforme proposições de Vergnaud e Piaget, os objetivos do estudo são: descrever concepções infantis da divisão por partição expressas em tarefas de aprendizagem de repartir coleções numéricas; identificar níveis da tomada de consciência de relações típicas daquele tipo de divisão. Este processo seria favorecido por tarefas que alternam momentos de repartir coleções, de interpretá-las e de produzir notações interpretadas a respeito. A análise microgenética dos dados videografados descreve a natureza e as alterações das soluções de seis alunos (7 a 8 anos) de uma escola pública que, em tríades, realizaram as tarefas em duas sessões. São descritas hierarquias de concepções da divisão por partição, ligadas à execução prática e às notações. Dessas hierarquias, foram identificados níveis de tomada de consciência de esquemas e relações pertinentes àquela divisão. São discutidos o lugar do repartir na compreensão da divisão e o papel da tomada de consciência de ações nessa aprendizagem conceitual.Palavras-chave: construção da divisão; estruturas multiplicativas; concepções infantis de divisão. Multiplicative Structures and the Grasp ofConsciousness: Sharing for Dividing ABSTRACT -According to Vergnaud's and Piaget's proposals, the study aims to describe children's conceptions of partitive division expressed on learning tasks of sharing numerical collections, and to identify the grasp of consciousness levels of the typical relations which define that kind of division. This process is supposed to be enhanced by tasks, which alternate moments of practical sharing of numerical collections, notation production and their interpretation. The microgenetic analysis of videotaped data describes the nature and the changes of six students' solutions (7 to 8 years old) to those tasks. These students were attending a State Elementary School and they performed the tasks in triads, during two sessions. Results show children's conceptions of partitive division disposed on two hierarchies, one for the practical executions and other for the notations. Both hierarchies give support to the identification of the grasp of consciousness levels of schemata and relations inherent to that type of division. The status of the sharing activities on the comprehension of partitive division and the role of the grasp of consciousness of actions in this conceptual learning are discussed.Key words: construction of division; multiplicative structures; children's conceptions of division. e a interpretação de notações a respeito. Logo, a alternância cíclica dessas realizações amplificaria as possibilidades de o sujeito tomar consciência das ações e relações aritméticas em jogo para sua conceitualização. Visto no quadro da epistemologia genética como aspecto da equilibração, o processo da tomada de consciência de esquemas é uma das dimensões que transforma esses esquemas em um conceito ou em um sistema de conceitos . A perspectiva piagetiana a respeito entende a ação como um "saber fazer" com algum grau de autonomia. Porém, seja quando há sucesso pre...

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ResumoO artigo trata da interpretação que professores e futuros professores fazem dos erros de alunos do ensino fundamental na solução de problemas de estrutura multiplicativa. Os participantes foram 12 futuros professores e 12 professores de matemática do ensino fundamental. Em entrevista semiaberta, foram-lhes apresentadas seis cartelas, cada uma contendo o enunciado de um problema (três de produto de medidas, três de isomorfismo de medidas) cuja solução incorreta deveria ser interpretada. Os entrevistados identificaram erros de natureza procedimental, linguística e conceitual. Futuros professores e professores viram os erros nos problemas de produto de medidas, sobretudo como conceituais, e os erros nos problemas de isomorfismo de medidas, sobretudo como linguísticos. Como o mesmo padrão de resultados quantitativos foi encontrado para os dois grupos, conclui-se que no ensino de matemática, o tipo de problema tem papel relevante na forma de interpretar erros, mais que a formação e a experiência dos professores.

O estudo compara a existência e a direção da atitude em relação à Matemática de quatro grupos amostrais: estudantes de licenciatura em matemática em dois momentos de sua formação, e professores de matemática em dois momentos de exercício profissional. Os dados foram obtidos de participantes voluntários (N = 440), por meio de escala de atitude, texto autobiográfico, questionário e entrevista semi-estruturada. A análise estatística dos dados permitiu constatar diferenças na medida de atitudes em relação à Matemática entre os grupos amostrais, sendo significativa a presença de atitude favorável de alunos do início da licenciatura em comparação à de professores em exercício. Essas diferenças foram corroboradas por traços característicos dos tipos de atitude, identificados por análise qualitativa. A mudança de atitude em relação à Matemática pode ser explicada pelas particularidades das diferentes circunstâncias da vida estudantil e profissional. Recomendações para a formação docente em Matemática são sugeridas.

RESUMO -O artigo descreve a natureza das soluções de crianças a problemas de produto cartesiano conforme níveis do raciocínio combinatório ali implicados, para identificar a aprendizagem ocorrente e a natureza das intervenções de ensino. Participaram cinco crianças de nove anos, alunas da 3ª série de uma escola municipal de Ensino Fundamental. A coleta de dados foi realizada em duas sessões individuais para solucionar problemas por escrito. A intervenção de ensino da pesquisadora seguiu o estilo clínico-crítico. Da análise qualitativa dos dados gravados em vídeo foram identificados os seguintes níveis de solução: resposta contextualizada sem indício de combinação, primeiras aproximações à solução combinatória, obtenção de algumas combinações e presença de solução combinatória. As formas identificadas de intervenção do adulto foram: orientadora, reorientadora, questionadora e instigadora. A discussão sublinha a relação das intervenções de ensino descritas na ocorrência dos progressos pontuais das crianças em direção a soluções de caráter combinatório.Palavras-chave: produto cartesiano; raciocínio combinatório; aprendizagem matemática; intervenção do professor. Problems of Cartesian Product, Combinatory Reasoning, and Teacher's InterventionABSTRACT -This paper describes the nature of children's solutions to Cartesian product problems according to their implied levels of combinatory reasoning in order to identify the learning process going on therein, and the nature of teaching intervention. Five nine-year-old students enrolled at the 3 rd grade of a state elementary school were the participants. Data were collected during two individual sessions of problem solving. The researcher's teaching intervention was on the clinical-critical format. The qualitative analysis of videotape data resulted in the identification of the following solution levels: contextualized answer without signs of combination, the first approaches to combinatory solutions, the arising of some combinations, and the presence of combinatory solutions. The identified forms of teaching interventions were: orienting, re-orienting, questioning, and instigating. The discussion underlies the relevance of the described teaching interventions to the punctual progress of each child towards solutions with combinatory marks.Keywords: Cartesian product; combinatory reasoning; mathematical learning; teacher's interventions. As últimas décadas têm sido marcadas por uma grande variedade de pesquisas na área da educação matemática. Muitas dessas pesquisas tratam da elaboração de crianças, adolescentes, adultos e professores, de diversos conceitos matemáticos presentes nos currículos escolares (e.g., Carraher, Carraher & Schliemann, 1989;Kamii, 2005;Nunes & Bryant, 1997;Vergnaud, 1983Vergnaud, , 1991.Em muitas dessas pesquisas percebe-se forte influência da epistemologia genética, teoria para a qual a aprendizagem só é possível quando há assimilação ativa por parte do sujeito que aprende (Piaget, 1973b). Um dos pontos que merece destaque nesse quadro é a preocupaç...

ResumoO estudo descreve as ações didáticas que doze professores e doze futuros professores de matemática propõem para corrigir erros antes identificados de alunos do ensino fundamental em seis problemas de estrutura multiplicativa (produto de medida, isomorfismo de medida). Examina também se há relação entre o tipo de ação didática proposta e o tipo de erro identificado. Cada participante passou por uma entrevista semiaberta e os dados obtidos foram audiogravados. Os resultados mostram que professores e futuros professores propõem certa variedade de ações didáticas, com diferenças entre os dois grupos que variam quantitativamente conforme o tipo de problema. Já os sinais, pouco consistentes, de relação entre os tipos de ação didática e os tipos de erro identificado parecem variar, não exclusivamente pela formação e a experiência profissional, mas por alguma interação dessa variável com o tipo de problema. Implicações para a formação docente são discutidas. Palavras-chave:Ações didáticas e tipos de erros em problemas multiplicativos; interpretação de professores; professores e futuros professores de matemática. AbstractThe study describes the didactic actions proposed by twelve mathematics teachers and twelve pre-service teachers when facing errors on problems of multiplicative structure (product of measures and isomorphism of measures) committed by elementary school students. It also examines if there is a relationship between the type of didactic action proposed and the type of error identified. Each participant gave a semi-structured interview and the data was audio recorded. Results show that teachers and pre-service teachers proposed a variety of didactic actions; however, there are differences between both groups, which may vary quantitatively according to the type of the problem. In addition, the few consistent signs of a relationship between the type of didactic actions and the type of the identified errors may vary, not exclusively for the teachers' training and their experience, but also for some interaction between that variable with the type of problem. Implications for teachers' professional training are discussed.