No abstract

We study several of the recent conjectures in regards to the role of symmetry in the inequalities of Brunn-Minkowski type, such as the L p -Brunn-Minkowski conjecture of Böröczky, Lutwak, Yang and Zhang, and the Dimensional Brunn-Minkowski conjecture of Gardner and Zvavitch, in a unified framework. We obtain several new results for these conjectures.We show that when K ⊂ L, the multiplicative form of the L p -Brunn-Minkowski conjecture holds for Lebesgue measure for p ≥ 1−Cn −0.75 , which improves upon the estimate of Kolesnikov and Milman in the partial case when one body is contained in the other.We also show that the multiplicative version of the L p -Brunn-Minkowski conjecture for the standard Gaussian measure holds in the case of sets containing sufficiently large ball (whose radius depends on p). In particular, the Gaussian Log-Brunn-Minkowski conjecture holds when K and L contain 0.5(n + 1)B n 2 . We formulate an a-priori stronger conjecture for log-concave measures, extending both the L p -Brunn-Minkowski conjecture and the Dimensional one, and verify it in the case when the sets are dilates and the measure is Gaussian. We also show that the Log-Brunn-Minkowski conjecture, if verified, would yield this more general family of inequalities.Our results build up on the methods developed by Kolesnikov and Milman as well as Colesanti, Livshyts, Marsiglietti. We furthermore verify that the local version of these conjectures implies the global version in the setting of general measures, and this step uses methods developed recently by Putterman.

We study the optimal transportation mapping ∇Φ : R d → R d pushing forward a probability measure µ = e −V dx onto another probability measure ν = e −W dx. Following a classical approach of E. Calabi we introduce the Riemannian metric g = D 2 Φ on R d and study spectral properties of the metric-measure space M = (R d , g, µ). We prove, in particular, that M admits a non-negative Bakry-Émery tensor provided both V and W are convex. If the target measure ν is the Lebesgue measure on a convex set Ω and µ is log-concave we prove that M is a CD(K, N ) space. Applications of these results include some global dimension-free a priori estimates of D 2 Φ . With the help of comparison techniques on Riemannian manifolds and probabilistic concentration arguments we proof some diameter estimates for M .bound of the integral norm R d D 2 Φ p dµ 1 p , p ≥ 1 would be sufficient. This follows from a recent result of Emanuel Milman (see [24]) on equivalence of norms in the log-concave case.

No abstract

Выбор пород деревьев, пригодных для создания лесозащитных полос вдоль автомагистралей, должен базироваться на исследовании адаптационного потенциала растений к автотранспортному загрязнению. Использование комплексного подхода к оценке состояния деревьев дуба черешчатого в экосистемах разной степени загрязнения позволило определить эту породу как высоко толерантную к воздействию автотранспорта и легкорастворимых солей, поступающих в экосистемы при применении антигололѐдных средств. Степень загрязнения экосистем определяли по содержанию в снежном покрове и в почве тяжѐлых металлов и легкорастворимых солей, содержанию тяжелых металлов в пыли, оседающей на листья. Показано, что содержание суммы неструктурных углеводов в ветвях деревьев в конце вегетационного периода и прирост ветвей в контрастных по загрязнению экосистемах были одинаковыми. Дуб способен переносить весеннее хлоридно-натриевокальциевое засоление почв средней степени. При этом накопление ионов Na + до 0,41±0,13 мг/г в листьях деревьев на засолѐнных почвах не приводит к изменению содержания в них калия. Одним из механизмов адаптации дуба черешчатого к засолению является увеличение содержания фракции дисахаров более чем в два раза относительно деревьев на слабозасолѐнных почвах.